El valor esperado es un concepto estadístico que se aplica a muchas situaciones comerciales. A menudo, el término se puede utilizar de forma imprecisa. No obstante, siempre que alguien menciona ganancias o pérdidas esperadas de una empresa comercial, es decir, el valor esperado de la magnitud probable de ganancias o pérdidas de la empresa en cuestión, el término tiene una base matemática rigurosa.
DEFINIENDO EL VALOR ESPERADO
El concepto de valor esperado utiliza dos conceptos matemáticos principales: variables aleatorias y probabilidades. Para comprender una variable aleatoria, supongamos que un experimento da como resultado un cierto número de resultados y que a cada uno de los resultados se le asigna un valor numérico. Entonces, una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un experimento. Suponga que se lanza una moneda. En este caso, hay dos posibles resultados: cara o cruz. Se puede asignar un valor numérico de 1 con las caras de los resultados y un valor de 0 con las colas de los resultados. Por lo tanto, si consideramos el número de resultados posibles en un solo lanzamiento como una variable aleatoria (a menudo se le da un nombre matemático genérico x), toma dos valores: x = 0, 1. En un caso más complicado, una variable aleatoria puede tomar una gran cantidad de valores, a veces incluso una cantidad infinita de valores.
La noción de probabilidad se usa ampliamente y se refiere a la posibilidad de que ocurra un evento. La probabilidad de un evento (denotado como p) se encuentra entre 0 y 1. Es decir, 0 es menor o igual que p y p es menor o igual que 1. En el ejemplo anterior de lanzamiento de una moneda, la probabilidad de que salga la cara arriba en un lanzamiento es 0.5 y la probabilidad de que salga cruz también es 0.5.
Se puede asignar un valor de probabilidad a cada valor que toma una variable aleatoria. En el ejemplo anterior, se puede decir que la probabilidad de que x = 1 es 0.5. Matemáticamente, se puede decir que p (x) = 0.5 cuando x = 1 (cuando mira hacia arriba). De manera similar, se puede decir que p (x) = 0.5 cuando x = 0 (cuando las colas aparecen).
Una expresión matemática para el valor esperado de una variable aleatoria (x) ahora se puede dar como:
En esta expresión, la notación E es la letra griega sigma mayúscula. Los matemáticos usan la notación X para indicar la suma de varios elementos. E (x) se usa como una notación para el valor esperado de la variable aleatoria x, y p (x) es la probabilidad de que la variable aleatoria x toma un valor particular. Por lo tanto, la expresión anterior sostiene que para calcular el valor esperado de una variable aleatoria discreta, uno debe multiplicar cada valor de la variable aleatoria por su probabilidad correspondiente y luego sumar todos los productos resultantes. Para el ejemplo de la moneda lanzada, el valor esperado (es decir, el número esperado de caras en un lanzamiento) se puede calcular de la siguiente manera usando la expresión anterior: 1 * 0.5 + 0 * 0.5 = 0.5. Aquí, la variable aleatoria toma dos valores: 1 (una cara) y 0 (una cola) con probabilidades de 0.5 cada uno. El cálculo del valor esperado implica que el número esperado de caras en un solo lanzamiento es 0.5. Esto significa que si uno lanza una moneda 100 veces, esperaría ver 50 caras sobre la base del concepto de valor esperado.
Dado que el ejemplo de la moneda es bastante simple, sigue un ejemplo más realista. Supongamos que tenemos datos sobre la cantidad de hijos que tienen las familias estadounidenses (llámela variable aleatoria x). El número mínimo de hijos que tuvo una familia fue 0 y el número máximo de hijos que tuvo una familia fue 5. Por lo tanto, la variable aleatoria x toma seis valores: x es igual a 0,1,2, 3, 4 y 5. Basado en el número de familias con diferente número de hijos, se dispone de datos sobre la probabilidad de que una familia tenga cierto número de hijos. Estos datos se proporcionan en las dos primeras columnas de la Tabla 1.tabla 1
| X | P (x) | X * P (x) |
| 0 | .18 | 0 * .18 |
| 1 | .39 | 1 * .39 |
| 2 | .24 | 2 * .24 |
| 3 | .14 | 3 * .14 |
| 4 | .04 | 4 * .04 |
| 5 | .01 | 5 * .01 |
Las dos primeras columnas de la Tabla 1 muestran que la probabilidad de que una familia tenga 0 hijos es igual a 0,18 o 18 por ciento. De manera similar, la probabilidad de que una familia tenga 1 hijo es igual a 0,39 o 39 por ciento; la probabilidad de que una familia tenga 2 hijos es igual a 0,24 o 24 por ciento; la probabilidad de que una familia tenga 3 hijos es igual a 0,14 o 14 por ciento; la probabilidad de que una familia tenga 4 hijos es igual a 0,04 o 4 por ciento; y la probabilidad de que una familia tenga 5 hijos es igual a 0,01 o 1 por ciento. La última columna de la tabla multiplica los diferentes valores de x por su probabilidad correspondiente, de acuerdo con la expresión matemática dada anteriormente, para calcular el valor esperado del número de niños en aquellos hogares a los que se aplican los datos anteriores. Cuando se suman los seis productos, el valor esperado del número de hijos (es decir, el valor esperado de la variable aleatoria x) resulta ser 1,5. Se puede interpretar el valor esperado de 1,5 como el número medio de hijos de los hogares considerados. En términos más concretos, podemos decir que si se escogiera una familia al azar entre las familias consideradas, se esperaría que tuviera 1,5 hijos.
La aplicación del concepto de valor esperado a las empresas se puede ilustrar con el siguiente ejemplo. Suponga que una empresa comercial tiene la opción de construir una planta de tamaño grande, mediano o pequeño. Las ganancias de cada tamaño de planta dependen de si la demanda es baja o alta. Suponga que la empresa conoce las probabilidades de demandas altas y bajas. Con base en estas probabilidades y las cifras de ganancias / pérdidas correspondientes, la empresa puede calcular la ganancia esperada para cada tamaño de planta. La empresa debe construir la planta que genere las mayores ganancias esperadas.